Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．
（1）設(shè)G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；
（2）在△ABO內(nèi)是否存在一點M，使FM⊥平面BOE，若存在，請找出點M，并求FM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）取PE中點H，連接FH、GH，
∵F，H分別為PB，PE中點，∴△PBE中，F(xiàn)H∥BE，
∵FH?平面BEO，BE?平面BEO，∴FH∥平面BEO
同理，可得HG∥平面BEO
∵FH∩HG=H，F(xiàn)H、HG?平面FGH
∴平面BEO∥平面FGH，
∵FG?平面FGH，∴FG∥平面BEO． …（5分）
（2）∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且O為AC中點，∴BO⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，BO?平面ABC，平面ABC∩平面APC=AC，
∴BO⊥平面APC．結(jié)合PQ?平面APC，得BO⊥PQ
過P在平面APC內(nèi)作PQ⊥EO，交AO于Q，連接BQ，取BQ中點M，連接FM，
∵BO∩EO=O，BO、EO?平面BEO，∴PQ⊥平面BEO，
∵△PBQ中，點F、M分別為PB、QB的中點，
∴FM∥PQ，且FM=PQ
結(jié)合PQ⊥平面BEO，得FM⊥平面BOE，即BQ中點M即為所求．
Rt△PCQ中，cos∠PCQ==，得CQ=PC=
∴PQ==，可得
因此，在平面ABC內(nèi)，存在△ABO的中線BQ上的點M，滿足M為BQ的中點時，F(xiàn)M⊥平面BOE，此時…（12分）
分析：（1）取PE中點H，連接FH、GH，利用三角形中位線定理，結(jié)合平面與平面平行的判定定理，證出平面BEO∥平面FGH，進而可得FG∥平面BOE；
（2）等腰Rt△ABC證出BO⊥AC，從而得到BO⊥平面APC，所以BO⊥PQ，過P在平面APC內(nèi)作PQ⊥EO，交AO于Q，連接BQ，取BQ中點M，連接FM．可得PQ⊥平面BEO且FM∥PQ，得FM⊥平面BEO，所以BQ中點即為滿足條件的點M．再利用解三角形的知識，可算出PQ=，得到．
點評：本題給出特殊三棱錐，求證線面平行并探索了線面垂直，著重考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，以及線面平行的判定等知識，屬于中檔題．