Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA⊥底面ABC，且側(cè)棱和底面邊長均為2，D是BC的中點
（1）求證：AD⊥平面BB₁CC₁；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求三棱錐C₁-ADB₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD，利用三角形的中位線定理與線面平行的判定定理即可得出；
（3）由于VC1-ADB1=VA-B1DC1，利用三棱錐的體積計算公式即可得出．

解答： （1）證明：∵CC₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
∴CC₁⊥AD
∵△ABC是正三角形，D是BC的中點，
∴BC⊥AD，又BC∩CC₁=C，
∴AD⊥平面BB₁CC₁；
（2）證明：如圖，連接A₁C交AC₁于點O，連接OD
由題得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點，
又D為BC的中點，
∴A₁B∥OD
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁
∴A₁B∥平面ADC₁．
（3）解：∵VC1-ADB1=VA-B1DC1，S△B1DC1=

1

2

×2×2，AD=

3

，
∴VC1-ADB1=VA-B1DC1=

1

3

S△B1DC1×AD=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

．

點評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理與線面平行的判定定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．