已知函數(shù)f(x)=在x=0,x=處存在極值。
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點A,B使得△AOB是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在y軸上,求實數(shù)c的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)c=e時,討論關(guān)于x的方程f(x)=kx(k∈R)的實根個數(shù)。
(Ⅰ);(Ⅱ)實數(shù)c的取值范圍是(0,+∞) ;(Ⅲ)當(dāng)k>或k<0時,方程f(x)=kx有一個實根;當(dāng)k=或k=0時,方程f(x)=kx有兩個實根;當(dāng)0<k<時,方程f(x)=kx有三個實根。
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由于兩個極值點都小于零,故對在求導(dǎo),,即當(dāng)時,,依題意,由可求實數(shù)的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得,依題意A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),分與討論,利用是直角,,即可求得實數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)由方程,知,可知一定是方程的根,,方程等價于,構(gòu)造函數(shù),分且與兩類討論,即可確定的實根的個數(shù).
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)x<1時,.
因為函數(shù)f(x)在x=0,x=處存在極值,所以
解得a=1,b=0. (3分)
(Ⅱ)由(1)得
根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè)A(-t,t3+t2), B(t,f(t)(t>0). (4分)
若t<1,則f(t)=-t3+t2,
由∠AOB是直角得·=0,即-t2+(t3+t2)(-t3+t2)=0,
即t4-t2+1=0.此時無解; (5分)
若t≥1,則f(t)=c(et―1―1).由于AB的中點在y軸上,且∠AOB是直角,
所以B點不可能在x軸上,即t≠1.
同理·=0, 即-t2+( t3+t2)·c(et―1―1)=0,
整理后得 . (7分)
因為函數(shù)y=(t+1)(et-1―1)在t>1上的值域是(0, +∞),
所以實數(shù)c的取值范圍是(0, +∞). (8分)
(3)由方程f(x)=kx,
知
因為0一定是方程的根, (9分)
所以僅就x≠0時進行研究:
方程等價于
構(gòu)造函數(shù) (10分)
對于x<1且x≠0部分,函數(shù)g(x)=-x2+x的圖象是開口向下的拋物線的一部分,當(dāng)x=時取得最大值,其值域是(-∞, 0)∪(0, ]; (11分)
對于x≥1部分,函數(shù),由,
知函數(shù)g(x)在(1, +∞)上單調(diào)遞增,則g(x)[0,+) (13分)
所以, ①當(dāng)k>或k<0時,方程f(x)=kx有一個實根;
②當(dāng)k=或k=0時,方程f(x)=kx有兩個實根;
③當(dāng)0<k<時,方程f(x)=kx有三個實根。 (14分)
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;根的存在性及根的個數(shù)判斷.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江西省上高二中2010-2011學(xué)年高一第一次月考數(shù)學(xué)試題 題型:013
已知函數(shù)f(x)=在(-3,-2)上是增函數(shù),則二次函數(shù)y=2kx2-4x+k2的圖象大致為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:天津市五區(qū)縣重點學(xué)校2007年高三年級畢業(yè)班聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題 題型:044
已知函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式.
(Ⅱ)當(dāng)m滿足什么條件時,f(x)在區(qū)間(m,2m+1)為增函數(shù).
(Ⅲ)若P(x0,y0)為函數(shù)f(x)=圖象上任意一點,直線L與f(x)=的圖象切于P點,求直線L的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009高考遼寧省數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編:函數(shù)(包含導(dǎo)數(shù)) 題型:013
已知函數(shù)f(x)=在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù),則a=
A.-1
B.1
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省贛州市十一縣高三上學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,那么實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1) B. C. D.
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