Question

如圖，三棱錐A-BCD中，△ABD是正三角形，CD⊥BD，AB=2，CD=1，AC=

5

．
（1）證明：CD⊥AB；
（2）求直線BC與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由于CD⊥BD，再利用勾股定理證得 AD⊥CD，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 ABD，再利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證得 CD⊥AB．
（2）取AD的中點(diǎn)M，根據(jù)條件證得∠BCM為直線BC與平面ACD所成角．在直角三角形BCM中，解三角形求得sin∠BCM=

BM

BC

的值，即為所求．

解答：解：（1）由于△ABD是正三角形，可得AB=2=AD，
再由CD⊥BD，CD=1，AC=

5

，
可得AC²=AD²+CD²，∴AD⊥CD．
再由 AD∩BD=D，可得 CD⊥平面 ABD．
再由AB?平面 ABD，可得 CD⊥AB．
（2）取AD的中點(diǎn)M，連接BM、CM，∵△ABD是正三角形，∴BM⊥AD．
由（1）知，CD⊥平面 ABD 又，CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面 ABD，
且平面ACD∩平面 ABD=AD，
故有BM⊥平面ACD．
故∠BCM為直線BC與平面ACD所成角．
再根據(jù)BC=

BD2+CD2

=

4+1

=

5

，BM=BD•sin60°=2×

3

2

=

3

，
故有 sin∠BCM=

BM

BC

=

3

5

=

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用；直線和平面所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．