Question

（2013•順義區(qū)二模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA₁的中點(diǎn)．
（I）求證：AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）求證：DF∥平面AB₁E；
（III）若二面角A-B₁E-A₁的大小為45°，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得A₁B₁⊥AD₁．由于側(cè)面四邊形ADD₁A₁為正方形，可得對(duì)角線A₁D⊥AD₁，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（II）取AB₁的中點(diǎn)為N，連接NF．利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理即可得到四邊形NEDF為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（III）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出．

解答：（I）證明：在長(zhǎng)方體體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，
∴A₁B₁⊥AD₁．
∵AA₁=AD，
∴四邊形ADD₁A₁為正方形，
∴A₁D⊥AD₁，
又A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
又A1B1

∥

.

CD，
∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形．
又E在CD上，
∴AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）取AB₁的中點(diǎn)為N，連接NF．
∵F為AA₁的中點(diǎn)，∴NF

∥

.

1

2

A1B1，
∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE=

1

2

CD，
而CD

∥

.

A1B1，
∴NF

∥

.

DE，
因此四邊形NEDF為平行四邊形，
∴DF∥NE，而NE?平面AB₁E，DF?平面AB₁E．
∴DF∥平面AB₁E．
（III）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=a，
則A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E(

a

2

，1，0)，B₁（a，0，1）．
則

AD1

=(0，1，1)，

AB1

=(a，0，1)，

AE

=(

a

2

，1，0)．
由（I）可知AD₁⊥平面A₁B₁E，
∴

AD1

是平面A₁B₁E的一個(gè)法向量．
設(shè)平面AB₁E的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AB1 =0 n • AE =0

，得

ax+z=0 a 2 x+y=0

．
令x=1，則y=-

a

2

，z=-a，
∴

n

=(1，-

a

2

，-a)．
∴|cos＜

n

，

AD1

＞|=

| n • AD1 |

| n | | AD1 |

=

|- a 2 -a|

2 × 1+ a2 4 +a2

．
因?yàn)槎�面角A-B₁E-A₁的大小為45°，
∴

3a 2

2 • 1+ 5a2 4

=

2

2

，
解得a=1，
即AB的長(zhǎng)為1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握長(zhǎng)方體的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角解決二面角的方法是解題的關(guān)鍵．