Question

（本小題滿分為１４分）

    已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。

    （I）證明為定值；

    （II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）由已知條件，得F（0，1），

設

即得      

∴          

將①式兩邊平方并把代入得

         ③

解②、③式得且有

         

拋物線方程為

求導得

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

         

即       

解出兩條切線的交點M的坐標為

                                       ……4分

    所以     

                       

所以為定值，其值為0。                                     ……7分 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S=|AB||FM|。

       |FM|

          

因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y= -1的距離，所以

        |AB|=|AF|+|BF|

          

于是   

                                                    ……11分

由    

且當=1時，S取得最小值4，                                       ……14分

 

【解析】略