Question

.（本題滿分12分）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱. (1)求雙曲線C的漸近線和雙曲線的方程； (2)設(shè)直線與雙曲線C的左支交于P、Q兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過及線段PQ的中點(diǎn)N，求直線在軸的截距的取值范圍.

Answer 1

(1)      (2)

解析:

(1) 設(shè)雙曲線的漸近線方程為，即，

∵雙曲線的漸近線與已知的圓相切，圓心到漸近線的距離等于半徑

∴     ∴雙曲線的漸近線的方程為： ，又設(shè)雙曲線的方程為：，則， ∵雙曲線的漸近線的方程為，且有一個(gè)焦點(diǎn)為∴，        

解之得：，故雙曲線的方程是： 

(2) 聯(lián)立方程組，消去得：

  ∵直線與雙曲線C的左支交于兩點(diǎn)，方程（*）兩根、為負(fù)數(shù)，

∴   

又∵線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足，

， 

∴直線的方程為：，即是，，直線在軸的截距    

又∵時(shí)，的取值范圍是：

∴直線的截距的取值范圍是