Question

10．雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的左焦點(diǎn)為F，雙曲線與直線l：y=kx交于A、B兩點(diǎn)，且∠AFB=$\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'．連AF'，BF'，可得四邊形AFBF'為平行四邊形，設(shè)AF=m，由雙曲線的定義可得AF'=BF=m-2，運(yùn)用余弦定理，可得m=4，再由向量的數(shù)量積的定義，計算即可得到所求．

解答 解：x²-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的a=1，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{7}$，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'．連AF'，BF'，
可得四邊形AFBF'為平行四邊形，
即有AF'=BF，∠FAF'=120°，
設(shè)AF=m，由雙曲線的定義可得AF'=BF=m-2，
在△AFF'中，由余弦定理可得，
cos120°=$\frac{{m}^{2}+（m-2）^{2}-4×7}{2m（m-2）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得m=4，
即AF=4，BF=2，
則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|cos60°=4×2×$\frac{1}{2}$=4．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，以及向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．