Question

（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知直線l的參數(shù)方程為

x=2t y=1+2t

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ．設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，則

OA

•

OB

=

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：由直線l的參數(shù)方程為

x=2t y=1+2t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：y=x+1．由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ可得x²=y．設(shè)直線l與曲線C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．聯(lián)立可化為關(guān)于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)量積可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂．

解答： 解：由直線l的參數(shù)方程為

x=2t y=1+2t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：y=x+1．
由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ化為（ρcosθ）²=ρsinθ可得x²=y．
設(shè)直線l與曲線C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
聯(lián)立

y=x+1 y=x2

化為x²-x-1=0，
可得x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．
∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-1+1+1=1．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-1+1=0．
故答案為：0．

點評：本題考查了把參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、聯(lián)立可化為關(guān)于x的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積的坐標(biāo)運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．