Question

17．若點P在以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0）上，且PF⊥FO，|PF|=2，O為原點．若直線x-2y=1與此拋物線相交于兩點A，B，點N是拋物線弧$\widehat{AOB}$上的動點，求△ABN面積的最大值．

Answer 1

分析 如圖所示，由拋物線y²=2px（p＞0）上，可得F$（\frac{p}{2}，0）$．把x=$\frac{p}{2}$代入拋物線方程可得y=±p，由于PF⊥FO，|PF|=2，O為原點．可得p=2，可得拋物線方程為：y²=4x．設(shè)與直線x-2y=1平行且與拋物線相切的直線x-2y=m，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=0，可得m．可得此兩條平行直線的距離d．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立化為x²-18x+1=0，可得|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：如圖所示，
由拋物線y²=2px（p＞0）上，可得F$（\frac{p}{2}，0）$．
把x=$\frac{p}{2}$代入拋物線方程可得y=±p，
∵PF⊥FO，|PF|=2，O為原點．
∴p=2，
可得拋物線方程為：y²=4x．
設(shè)與直線x-2y=1平行且與拋物線相切的直線x-2y=m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為y²-8y-4m=0，
令△=64+16m=0，
解得m=-4．
可得切線方程為：x-2y=-4．
此兩條平行直線的距離d=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為x²-18x+1=0，
∴x₁+x₂=18，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（1{8}^{2}-4×1）}$=20．
∴△ABN面積的最大值S=$\frac{1}{2}|AB|$•d=$\frac{1}{2}×20×\sqrt{5}$=10$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．