Question

【題目】已知冪函數(shù)f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試判斷是否存在正數(shù)q，使函數(shù)g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在區(qū)間[﹣1，2]上的值域為[﹣4， ]．若存在，求出q的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為冪函數(shù)f（x）=x（2﹣k）（1﹣k）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以（2﹣k）（1+k）＞0，故﹣1＜k＜2．

又因為k∈Z，故k=0，或k=1，所以f（x）=x2

（2）解：由（1）知g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，

假設(shè)存在這樣的正數(shù)q符合題意，

則函數(shù)g（x）的圖象是開口向下的拋物線，

其對稱軸為x= =1﹣ ＜1，

因而，函數(shù)g（x）在[﹣1，2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2處取得

又g（2）=﹣4q+4q﹣2+1=﹣1≠﹣4，從而必有g(shù)（﹣1）=2﹣3q=﹣4

解得q=2，

此時，g（x）=﹣2x2+3x+1，其對稱軸x= ∈[﹣1，2]

∴g（x）在[﹣1，2]上的最大值為g（ ）=﹣2×（ ）2+3× +1= 符合題意

【解析】（1）由f（2）＜f（3）知冪函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，故（2﹣k）（1+k）＞0，解出k即可．（2）寫出g（x）的解析式g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，為二次函數(shù)，只需考慮二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性即可．