【題目】已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.

(1)求M的軌跡方程；

(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程.

【答案】(1) M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2 (2) x＋3y－8＝0

【解析】

(1)圓C的方程即x2＋(y－4)2＝16，設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).由·＝0可得M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由題意結合(1)的結論可得M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓.結合幾何關系可知，l的斜率為－，故l的方程為x＋3y－8＝0.

(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.

設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).

由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓.

由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.

因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－，故l的方程為x＋3y－8＝0.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元．

（Ⅰ）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關系式；

（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標滿足如圖所示的直方圖，其中當某天的派送量指標在（，]（n＝1，2，3，4，5）時，日平均派送量為50＋2n單．若將頻率視為概率，回答下列問題：

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數(shù)學期望及方差；

②結合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由。

（參考數(shù)據(jù)：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【答案】（Ⅰ）甲方案的函數(shù)關系式為： ，乙方案的函數(shù)關系式為：；（Ⅱ）①見解析，②見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為： ， 乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為：.

（Ⅱ）①由題意求得X的分布列，據(jù)此計算可得，，.

②答案一：由以上的計算可知，遠小于，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：由以上的計算結果可以看出，，所以小明應選擇乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為： ，

乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為：

（Ⅱ）①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格：

單數(shù)

52

54

56

58

60

頻率

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

所以的分布列為：

152

154

156

158

160

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

所以

所以的分布列為：

140

152

176

200

0.5

0.2

0.2

0.1

所以

②答案一：由以上的計算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠小于，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：由以上的計算結果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應選擇乙方案.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，數(shù)學期望與方差的含義與實際應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標方程是ρ=asinθ，直線l的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）
（1）若a=2，直線l與x軸的交點是M，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值；
（2）直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的 倍，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取了60名高中生，通過問卷調查，得到以下數(shù)據(jù)：

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

由以上數(shù)據(jù)，計算得到K2的觀測值k≈9.643，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是(　　)

A. 沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關

B. 有0.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關

C. 有99.9%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關

D. 有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一商場對每天進店人數(shù)和商品銷售件數(shù)進行了統(tǒng)計對比，得到如下表格：

其中=1,2,3,4,5,6,7.

(1)以每天進店人數(shù)為橫軸，每天商品銷售件數(shù)為縱軸，畫出散點圖；

(2)求線性回歸方程；(結果保留到小數(shù)點后兩位)

(參考數(shù)據(jù)：=3 245, =25, =15.43, =5 075)

(3)預測進店人數(shù)為80人時，商品銷售的件數(shù)．(結果保留整數(shù))

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2cos2ωx+2 sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期為2．
（Ⅰ）當 時，求f（x）的最值；
（Ⅱ）若 ，求 的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（﹣1）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+alnx．

（1）若a=﹣1，求函數(shù)f（x）的極值，并指出極大值還是極小值；

（2）若a=1，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最值；

（3）若a=1，求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在g（x）=x3的圖象下方．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設x，y滿足約束條件 ，目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值M，若M的取值范圍是[1，2]，則點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域面積= ．

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