Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到直線l：x=2的距離是到點F（1，0）的距離的倍．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線FP與（Ⅰ）中曲線交于點Q，與l交于點A，分別過點P和Q作l的垂線，垂足為M，N，問：是否存在點P使得△APM的面積是△AQN面積的9倍？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）．
由題意知•=|2-x|…（3分）
化簡得x²+2y²=2，
∴動點P的軌跡方程為x²+2y²=2，即+y²=1--------（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線FP的方程為x=ty+1，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
因為△AQN∽△APM，所以PM=3QN，
由已知得PF=3QF，所以有y₁=-3y₂…（1）--------（7分）
由，消去x得（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴△＞0且y₁+y₂=-…（2），y₁y₂=-…（3）--------（10分）
聯(lián)解（1）（2）（3），得t=-1，y₁=1，y₂=-或t=1，y₁=-1，y₂=
∴存在點P（0，±1）使得△APM的面積是△AQN面積的9倍．--------（13分）
分析：（I）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)點到直線的距離公式和兩點間的距離公式，結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的等式，化簡整理可得x²+2y²=2，所以動點P的軌跡方程為橢圓+y²=1；
（II）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．將直線FP方程x=ty+1與橢圓消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)₁+y₂和y₁y₂關(guān)于t的表達式．若△APM的面積是△AQN面積的9倍，由平幾知識可得△AQN∽△APM，則PM=3QN，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得PF=3QF．因此得到y(tǒng)₁=-3y₂結(jié)合前面的等式，解出t=-1，從而得到存在點P（0，±1）使得△APM的面積是△AQN面積的9倍．
點評：本題給出動點P的軌跡是橢圓，探索橢圓的焦點弦所在直線與準(zhǔn)線相交構(gòu)成三角形的面積問題．著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系和三角形相似等知識，屬于中檔題．