Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，設(shè)，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（I）求S_n；
（II）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1，可得3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1），從而可得是公比為1的等比數(shù)列，進而可求
S_n；
（II）將代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，可求數(shù)列{a_n}的通項，利用設(shè)，進而可得數(shù)列{b_n}的通項，由此利用錯位相減法可求T_n，最后可求極限．
解答：解：（I）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．
∴當(dāng)n≥2時，3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1）
∴（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1
∴，…（2分）
∴是公比為1的等比數(shù)列，
∴
∴．…（5分）
（II）將代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，
得．…（7分）
，
．
∴
∴．…（10分）
∴．…（12分）
點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項與前n項和，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，同時考查錯位相減法，解題的關(guān)鍵是正確運用數(shù)列遞推式．