Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長為2

3

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若

OA

•

OB

＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線的右焦點(diǎn)，實(shí)軸長，可求雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的方程．
（2）將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根的判別式大于0即可求得k的取值范圍，從而解決問題．
（3）由（2）結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，建立關(guān)于k的不等式，即可k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由已知得a=

3

，c=2，
再由a²+b²=c²，∴b²=1．
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1
（2）將y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1．
得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由題意知

t-3k2≠0 △=36(1-k2)＞0

即k²≠

1

3

，且k²=1．①
∴k的取值范圍為（-1，

3

3

)∪（-

3

3

，

3

3

)∪（

3

3

，1)．
（3）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．
由（2）得x_A+x_B=

6 2 ?k

1-3k2

，x_A•x_B=

-9

1-3k2

．
由

OA

•

OB

＞2，得x_A•x_B+y_A•y_B＞2，
而x_A•x_B+y_A•y_B=x_A•x_B+（kx_A+

2

)（kx_B+

2

)
=（k²+1）x_A•x_B+

2

k（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•

-9

1-3k2

+

2

k•

6 2 ?k

1-3k2

+2=

3k2+7

3k2-1

．
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，
∴

1

3

＜k2＜3．②
由①②得

1

3

＜k2＜1．
故k的取值范圍為（-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查方程思想．屬于直線與圓錐曲線的綜合問題．