Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，，，,且．

（Ⅰ）當(dāng)，，時(shí)，若方程恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（Ⅲ）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，試比較與的大小并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）或；（2）證明詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查方程的根的問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先將代入到中，將方程轉(zhuǎn)化為，有2種情況：第一種：是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，第二種：一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，分別討論求解；第二問(wèn)，展開表達(dá)式，對(duì)求導(dǎo)，而方程的恒成立，所以可證得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；第三問(wèn)，將代入中，可計(jì)算得，而，解不等式即得.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，.

依題意，若方程恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，包括兩種情況：

（ⅰ）若是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則時(shí)，方程可化為，恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0（令一根為3）.

（ⅱ）若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則方程的根的判別式，解得，此時(shí)方程恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（另一根為0）.

∴當(dāng)或時(shí)，方程恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（2）由，可得，，

∴.

此一元二次方程的判別式，

則.

由，可得，恒成立，

∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

（3）∵，

得

即，由，得.

考點(diǎn)：方程的根的問(wèn)題.