Question

5．直線y=x+m與圓x²+y²=4交于不同的兩點M、N，且$|\overrightarrow{MN}|≥\sqrt{3}|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON|}$，其中O為坐標(biāo)原點，則實數(shù)m的取值范圍是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 MN的中點為A，則2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，利用|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|，可得|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OA}$|，從而可得|$\overrightarrow{OA}$|≤1，利用點到直線的距離公式，可得$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$≤1，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)MN的中點為A，則OA⊥MN，并且2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，
∵|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|，
∴|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OA}$|，即為2$\sqrt{4-|\overrightarrow{OA}{|}^{2}}$≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OA}$|，解得|$\overrightarrow{OA}$|≤1，
∴O到直線MN的距離$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$≤1，
解得-$\sqrt{2}$≤m$≤\sqrt{2}$．
故答案為：$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離問題，關(guān)鍵是通過訓(xùn)練的運算得到m的不等式解之．