Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上有2個零點，求實數(shù)的取值范圍.（注）

（2）設(shè)，若函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）將a分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖像，得到a的范圍.

（2）由已知，求其導(dǎo)函數(shù)，由x1，x2是g（x）的兩個不同極值點，可得a＞0，結(jié)合g′（x1）＝0，g′（x2）＝0得到，進一步得到，把問題轉(zhuǎn)化為證明，將其變形后整體換元構(gòu)造函數(shù)．再利用導(dǎo)數(shù)證明＞0得答案．

（1）時，由得，

令

∴時，，

時，，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

又，，

，

∴，∴h（x）的大致圖像：

利用與的圖像知.

（2）由已知，∴，

因為，是函數(shù)的兩個不同極值點（不妨設(shè)），

易知（若，則函數(shù)沒有或只有一個極值點，與已知矛盾），

且，.所以，.

兩式相減得，

于是要證明，即證明，兩邊同除以，

即證，即證，

即證，

令，.即證不等式，當時恒成立.

設(shè)，則 .

設(shè)，則，

當時，，

單調(diào)遞減，所以，即，所以，

所以在時是減函數(shù).故在處取得最小值.

所以得證.所以.