Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+2，其中a＞0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）求a的范圍，使得方程x³-3ax+2=0有①唯一實(shí)根   ②三個(gè)不相等的根．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）方程x³-3ax+2=0有①唯一實(shí)根，只要極大值小于零或極小值大于零即可，解此不等式即可求得結(jié)果；方程x³-3ax+2=0有②三個(gè)不相等的根，只要極大值大于零且極小值小于零即可，解此不等式組即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3a，由f′（x）=0得x=±

a

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+

∴f（x）的遞增區(qū)間（-∞，-

a

），（

a

，+∞）遞減區(qū)間為（-

a

，

a

），
f_極大值=f（-

a

）=2a

a

+2，f_極小值=f（

a

）=-2a

a

+2；
（2）①要使方程有唯一實(shí)根，應(yīng)有2a

a

+2＜0或-2a

a

+2＞0
解得0＜a＜1 即當(dāng)a∈（0，1）方程有唯一的實(shí)根
②當(dāng)方程有三個(gè)不相等的根時(shí)應(yīng)有-2a

a

+2＜0＜2a

a

+2，
解得a＞1，即當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)方程有三個(gè)不相等的實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，屬中檔題．