Question

（2012•包頭一模）現(xiàn)有A，B兩個(gè)項(xiàng)目，投資A項(xiàng)目100萬(wàn)元，一年后獲得的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X₁（萬(wàn)元），根據(jù)市場(chǎng)分析，X₁的分布列為：

X1	12	11.8	11.7
P	1 6	1 2	1 3

投資B項(xiàng)目100萬(wàn)元，一年后獲得的利潤(rùn)X₂（萬(wàn)元）與B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整（價(jià)格上調(diào)或下調(diào)）有關(guān)，已知B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，且在每次調(diào)整中價(jià)格下調(diào)的概率都是p（0≤p＜1）．
經(jīng)專(zhuān)家測(cè)算評(píng)估B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的下調(diào)與一年后獲得相應(yīng)利潤(rùn)的關(guān)系如下表：

B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)下調(diào)次數(shù)X（次）	0	1	2
投資100萬(wàn)元一年后獲得的利潤(rùn)X2（萬(wàn)元）	13	12.5	2

（Ⅰ）求X₁的方差D（X₁）；
（Ⅱ）求X₂的分布列；
（Ⅲ）若p=0.3，根據(jù)投資獲得利潤(rùn)的差異，你愿意選擇投資哪個(gè)項(xiàng)目？
（參考數(shù)據(jù)：1.2²×0.49+0.7²×0.42+9.8²×0.09=9.555）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)X₁的概率分布列，利用期望、方差公式，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）確定X的取值，求出相應(yīng)的概率，可得X₂的概率分布列；
（Ⅲ）當(dāng)p=0.3時(shí)，期望相同，利用方差的大小比較，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）X₁的概率分布列為

X1	12	11.8	11.7
P	1 6	1 2	1 3

則E(X1)=12×

1

6

+11.8×

1

2

+11.7×

1

3

=11.8.D(X1)=(12-11.8)2×

1

6

+(11.8-11.8)2×

1

2

+(11.7-11.8)2×

1

3

=0.01．---------（4分）
（Ⅱ）設(shè)A_i表示事件”第i次調(diào)整，價(jià)格下調(diào)”（i=1，2），則P（X=0）=P(

.

A

1)P(

.

A

2)=(1-p)2；P（X=1）=P(

.

A

1)P(A2)+P(A1)P(

.

A

2)=2p(1-p)；P（X=2）=P(A1)P(A2)=p2
故X₂的概率分布列為

X2	13	12.5	2
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

---------（8分）
（Ⅲ）當(dāng)p=0.3時(shí)．E（X₂）=E（X₁）=11.8，
由于D（X₁）=0.01．D（X₂）=9.555．
所以D（X₂）＞D（X₁），當(dāng)投資兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)均值相同的情況下，投資B項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)高于A項(xiàng)目．
從獲得穩(wěn)定收益考慮，當(dāng)p=0.3時(shí)應(yīng)投資A項(xiàng)目．---------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，正確求期望與方差是關(guān)鍵．