Question

設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，并記點M的軌跡曲線為C，
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設過定點（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點E，F(xiàn)，且∠EOF=90°（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）設A（2，0），B（0，）是曲線C的兩個頂點，直線y=mx（m＞0）與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點，求四邊形AEBF面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設曲線C上的任意一點P（x，y），
則有，
化簡得；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓的交點E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
，
，
，
因為l與橢圓交于不同的兩點E，F(xiàn)且∠EOF=90°得
，x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，，
解得（滿足）。
（Ⅲ）解方程組得
，
即，
S_{四邊形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOM=|BO|·x₁+|AO|·y₁

，
因為，
所以（當且僅當時取等號），
即S_{四邊形AEBF}的最大面積為（當時取得）。