Question

7．已知x，y是三角形的兩邊，α，β是三角形的兩內(nèi)角，且x，y，α，β之間滿足下列關(guān)系$\left\{\begin{array}{l}{xsinα+ycosβ=0}\\{xcosα-ysinβ=0}\end{array}\right.$，則α的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{xsinα+ycosβ=0}\\{xcosα-ysinβ=0}\end{array}\right.$，移向平方相加可得x=y，兩式平方相加可得sin（α-β）=-1，可得α-β=-$\frac{π}{2}$，再分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}{xsinα+ycosβ=0}\\{xcosα-ysinβ=0}\end{array}\right.$，
∴移向平方相加可得x=y，
兩式平方相加可得sin（α-β）=-1
∴α-β=-$\frac{π}{2}$
設(shè)第三個角為γ，有以下三種情況：
i）α=γ，此時由于α+β+γ=π且α-β=-$\frac{π}{2}$
∴β=$\frac{2π}{3}$，α=$\frac{π}{6}$；
ii）β=γ，此時由于α+β+γ=π且α-β=-$\frac{π}{2}$
∴β=$\frac{π}{2}$，α=0，因此這種情況不可能；
iii）α=β，此時由于α-β=-$\frac{π}{2}$，因此這種情況是不可能的．
綜上有，α=$\frac{π}{6}$，β=$\frac{2π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．