在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cosA=
2
3
．
（Ⅰ）求2cos2
B+C
2
+sin2（B+C）；
（Ⅱ）若a=
3
，求△ABC面積的最大值．
考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：解三角形
分析：（Ⅰ）由cosA=
2
3
，可得sinA=
5
3
，化簡要求的式子可得1-cosA-2sinAcosA，代入化簡可得；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得3=b2+c2-2bc×
2
3
≥2bc-bc×
4
3
=
2bc
3
，結(jié)合三角形的面積公式可得．
解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=
2
3
，∴sinA=
1-cos2A
=
5
3
，
∴2cos2
B+C
2
+sin2(B+C)=2sin2
A
2
-sin2A
=1-cosA-2sinAcosA=1-
2
3
-2×
5
3
×
2
3
=
3-4
5
9
；
（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，
代入數(shù)據(jù)可得3=b2+c2-2bc×
2
3
≥2bc-bc×
4
3
=
2bc
3
，
∴bc≤
9
2
，∴S△ABC≤
1
2
×
9
2
×
1-(
2
3
)2
=
9
4
×
5
3
=
3
5
4

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC面積最大值為
3
5
4
點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算和基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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若直線3x+（a+1）y-1=0與直線ax-2y+1=0互相垂直，則（-
1
x
+ax2）5展開式中x的系數(shù)為（　　）
A、40B、-10
C、10D、-40

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求函數(shù)y=（cosx）2+asinx+3a-2（x∈[0，
π
2
]）的最值．

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已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a＞l，證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若對(duì)任意x1，x2，x1≠x2，且當(dāng)f（x1）=f（x2）時(shí)，有x1+x2＜0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

交通銀行向市場推出甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品，若投資甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品分別為p，q萬元，到期后獲得的收益分別為
1
10
p，
2
5
lnq萬元，且要求每種產(chǎn)品的投資起點(diǎn)都不低于1萬元．現(xiàn)在張老師把10萬元全部用于投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品．
（Ⅰ）若張老師投資了乙種理財(cái)產(chǎn)品為8萬元，求到期后張老師獲得的總收益；
（Ⅱ）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)投資方案，使得到期后張老師獲得的總收益最大，并求出其最大總收益．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=sin（2x+
π
3
）+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），f′（1）=0．
（Ⅰ）試用含a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（
1
2
，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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拋物線3y2+2x=0的準(zhǔn)線方程為
 
．

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閱讀程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入x的值為-100時(shí)，輸出x的值為
 
．

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