Question

函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx（a≠0）
（1）b=2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間，求a的取值范圍
（2）函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象交于P，Q兩點，過PQ中點作x軸的垂線l，l與曲線y=f（x），y=g（x）分別交于M，N點，設(shè)曲線y=f（x）在M處的切線為l₁，曲線y=g（x）在N處的切線為l₂，證明l₁∥l₂．

Answer 1

分析：（1）把b=2代入可得h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，而函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間等價于h′(x)=

1

x

-ax-2＜0在x＞0時解集非空集，分類討論可得；
（2）假設(shè)存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，從而有

2(x1-x2)

x1+x2

=ln(

x1

x2

)，由導(dǎo)數(shù)法考慮h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

t∈（0，1）的單調(diào)性可得．

解答：解：（1）當b=2時，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，
函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間，等價于h′(x)=

1

x

-ax-2＜0，在x＞0時解集非空集，
即關(guān)于x的不等式ax²+2x-1＞0（a≠0）有解，
當a＞0時，ax²+2x-1＞0顯然有解；
而當a＜0時，只需△=4+4a＞0，解得-1＜a＜0，
∴a的取值范圍為：a＞0或-1＜a＜0              …（7分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)0＜x₁＜x₂，由題意可得M、N的橫坐標

x1+x2

2

，
則M點處的導(dǎo)數(shù)值為

1

x

|x=

x1+x2

2

=

2

x1+x2

，N點處的導(dǎo)數(shù)值為ax+b|x=

x1+x2

2

=

a(x1+x2)

2

+b，
假設(shè)存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，
∴

2(x1-x2)

x1+x2

=

a

2

(

x

2 1

-

x

2 2

)+b(x1-x2)=(

1

2

ax12+bx1)-(

1

2

ax22+bx2)=f（x₁）-f（x₂）=ln(

x1

x2

)，
假設(shè)

2(t-1)

t+1

=lnt（*），(t=

x1

x2

∈(0，1))…（10分）
考慮h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

t∈（0，1）的單調(diào)性，
∵h′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
可知h（t）是t∈（0，1）的增函數(shù)（也是R⁺上增函數(shù)），故h（t）＜h（1）=0，
因此　

2(t-1)

t+1

＞lnt，
此結(jié)論與題設(shè)（*）矛盾，
∴l(xiāng)₁∥l₂…（14分）

點評：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的恒成立問題以及構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明問題，屬中檔題．