(2012•湖北模擬)對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)根據(jù)此教據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖:
分組 頻數(shù) 頻率 獎品價值(元)
[10,25) 5 0.25 20
[15,20) 12 n 40
[20,25) m p 60
[25,30) 1 0.05 80
合計 M 1
(I)求出表中M,p及圖中a的值;
(Ⅱ)學(xué)校決定對參加社區(qū)服務(wù)的這M名學(xué)生進(jìn)行表彰,對參加活動次數(shù)在[25,30),[20,25),[15,20),[10,15)區(qū)間的學(xué)生依次發(fā)放價值80元,60元、40元、20元的學(xué)習(xí)用品,在所取樣本中,任意取出2人,并設(shè)X為此二人所獲得用品價值之差的絕對值,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
分析:(I)由題設(shè)知
5
M
=0.25
,
12
M
=n
,
m
M
=p
,
1
M
=0.05
,5+12+m+1=M,由此能求出表中M,p及圖中a的值.
(Ⅱ)所取出兩人所獲得學(xué)習(xí)用品價值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元,分別求出P(X=0),P(X=20),P(X=40),P(X=60)的值,由此能求出X的分布列和EX.
解答:解:(I)由題設(shè)知
5
M
=0.25
,
12
M
=n
,
m
M
=p
,
1
M
=0.05
,
∵5+12+m+1=M,
∴M=20,n=0.6,m=2,p=0.1,
∴[15,20]組的頻率與組距之比a為0.12.
(Ⅱ)所取出兩人所獲得學(xué)習(xí)用品價值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元,
則P(X=0)=
C
2
5
+
C
2
12
+
C
2
2
C
2
20
=
10+66+1
190
=
77
190
,
P(X=20)=
C
1
5
C
1
12
+
C
1
12
• 
C
1
2
+
C
1
2
C
1
1
C
2
20
=
86
190
,
P(X=40)=
C
1
5
C
1
2
+
C
1
12
C
1
1
C
2
20
=
22
190
,
P(X=60)=
C
1
5
C
1
1
C
2
20
=
5
190

∴X的分布列為:
 X 20  40  60 
 P  
77
190
 
86
190
 
22
190
 
5
190
∴EX=0×
77
190
+20×
86
190
+40×
22
190
+60×
5
190
=
290
19
點(diǎn)評:本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是歷年高考的必考題型.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•湖北模擬)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上有一個頂點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)之間的距離分別為3+2
2
,3-2
2

(1)求橢圓的方程;
(2)如果直線x=t(t∈R)與橢圓相交于A,B,若C(-3,0),D(3,0),證明直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上;
(3)過點(diǎn)Q(1,0)作直線l(與x軸不垂直)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)R,若
RM
MQ
,
RN
NQ
,證明:λ+μ為定值.

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(2012•湖北模擬)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,點(diǎn)P在AM上,且滿足
AP
=2
PM
,則
PA
•(
PB
+
PC
)
的值為( 。

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(2012•湖北模擬)已知函數(shù)y=g(x)的圖象由f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ<π)個單位得到,這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示,則φ=
π
3
π
3

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(2012•湖北模擬)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,若S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則公比q等于
1
3
1
3

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(2012•湖北模擬)函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為正常數(shù),且函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行.
(1)求a的值;
(2)若存在x使不等式
x-m
f(x)
x
成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)對于函數(shù)y=f(x)和y=g(x)公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0,我們把|f(x0)-g(x0)|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

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