已知適合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值為3,求實數(shù)a的值,并解該不等式.
【答案】分析:首先分析題目已知適合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值為3,即可得到|x-3|=3-x.然后可以分類討論x2-4x+a<0,x2-4x+a≥0的情況,去絕對值號,求得解集即可得到答案.
解答:解:已知適合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值為3,即x≤3,所以|x-3|=3-x.
(1)若x2-4x+a<0,則原不等式化為x2-3x+a+2≥0.
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集,所以x2-4x+a<0不成立.
(2)若x2-4x+a≥0,則原不等式化為x2-5x+a-2≤0.因為x≤3,
令x2-5x+a-2=(x-3)(x-m)=x2-(m+3)x+3m,比較系數(shù),得m=2,所以a=8.
此時,原不等式的解集為{x|2≤x≤3}
故答案為a=8,不等式解集為{x|2≤x≤3}.
點評:此題主要考查絕對值不等式的應用問題,考查學生靈活求解能力,題中用到分類討論思想,有一定的計算量屬于中檔題目.
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