Question

13．用數(shù)學歸納法證明：（1+α）ⁿ≥1+nα（其中α＞-1，n是正整數(shù)）．

Answer 1

分析 要證明當α＞-1時，（1+α）ⁿ≥1+nα，先證明n=1時，（1+α）ⁿ≥1+nα成立，再假設n=k時，（1+α）ⁿ≥1+nx成立，進而證明出n=k+1時，（1+α）ⁿ≥1+nα也成立，即可得到對于任意正整數(shù)n：當α＞-1時，（1+α）ⁿ≥1+nα．

解答 解：因為（1+α）ⁿ≥1+αn為關于n的不等式，x為參數(shù)，以下用數(shù)學歸納法證明：
（�。┊攏=1時，原不等式成立；
當n=2時，左邊=1+2α+α²，右邊=1+2α，
因為x²≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設當n=k時，不等式成立，即（1+α）^k≥1+kα，
則當n=k+1時，
∵α＞-1，
∴1+α＞0，于是在不等式（1+α）^k≥1+kα兩邊同乘以1+α得
（1+α）^k•（1+α）≥（1+kα）•（1+α）=1+（k+1）α+kα²≥1+（k+1）α，
所以（1+α）^k+1≥1+（k+1）α．即當n=k+1時，不等式也成立．
綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對一切正整數(shù)n，不等式都成立

點評 數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質(zhì)，其步驟為：設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．