Question

如圖，△CDE中∠CDE=90°，平面CDE外一條線段AB滿足AB∥DE，AB=DE，AB⊥AC，F是CD的中點．

（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）若AC=AD，證明：AF⊥平面CDE．

Answer 1

考點：

直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質．

專題：

空間位置關系與距離．

分析：

（I）在平面BCE內作AF的平行線，通過線線平行證明線面平行；

（II）根據線面垂直的性質證線線垂直，再由線線垂直⇒線面垂直．

解答：

解：（I）取CE的中點O，連接BO、OF．

∵O、F分別是CD與CE的中點，∴OF∥DE，OF=DE，

又AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABOF為平行四邊形，∴AF∥BO

AF⊄平面BCE，BO⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（II）∵AB⊥AC，AB∥DE，∴DE⊥AC，

又DE⊥CD，CD∩AC=C，∴DE⊥平面ACD

∵AF⊂平面ACD，∴AF⊥DE；

∵F是CD的中點，AC=AD，∴AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE．

點評：

本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定．線面平行的證明方法：1、線線平行⇒線面平行；2、面面平行⇒線面平行．線面垂直的證明方法：1、線線垂直⇒線面垂直；2、面面垂直⇒線面垂直；3、⇒線面垂直．