Question

【題目】已知函數(shù)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）若x≥1，f(x)≤kx恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，，無極大值．（2）k≥1.

【解析】

（1）可由切線方程求得a與b的值，再還原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過分類討論得出函數(shù)的增減性

（2）可通過分離參數(shù)與構(gòu)造函數(shù)的方法將參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)進行求解

解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，,

故f′(1)＝b－a＝1，

又f(1)＝a，點(1，a)在直線y＝x上，

∴a＝1，則b＝2.

∴且，,

當(dāng)時，f′(x)<0，當(dāng)時，f′(x)>0.

故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

，無極大值．

(2)由題意知，恒成立，

令，

則，

令h(x)＝x－xlnx－1(x≥1)，

則h′(x)＝－lnx(x≥1)，

當(dāng)x≥1時，h′(x)≤0，h(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，

故h(x)≤h(1)＝0，故g′(x)≤0，

∴g(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，

故g(x)的最大值為g(1)＝1，∴k≥1.