Question

甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或下滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p（p＞

1

2

），且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

9

．
（1）求p的值；
（2）設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）已知各局勝負(fù)相互獨(dú)立，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止，包含甲連勝2局或乙連勝2局，寫出甲連勝兩局的概率和乙連勝兩局的概率求和為

5

9

．解出關(guān)于P的方程．
（2）因?yàn)楸荣愡M(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或下滿6局時(shí)停止，所以ξ的所有可能取值為2，4，6，而ξ=2已經(jīng)做出概率，只要求出ξ=4或ξ=6時(shí)的概率即可，最后求出期望．

解答：解：（1）當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，
第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止，故p2+(1-p)2=

5

9

，
解得p=

2

3

或p=

1

3

，又p＞

1

2

，故p=

2

3

（2）依題意知ξ的所有可能取值為2，4，6，
設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠�，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

9

，
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響，從而有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=(1-

5

9

)×

5

9

=

20

81

，P(ξ=6)=(1-

5

9

)×(1-

5

9

)×1=

16

81

，
則隨機(jī)變量ξ的分布列為：

故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點(diǎn)評(píng)：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．