已知函數(shù)f(x)=x2+a.
(1)若是偶函數(shù),在定義域上F(x)≥ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),令g(x)=f(f(x))-λf(x),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ,使g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù)?如果存在,求出λ的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)把函數(shù)f(x)的解析式代入函數(shù)F(x)利用函數(shù)是偶函數(shù)求出b=0,把b=0代回函數(shù)F(x)的解析式,由F(x)≥ax恒成立分離出參數(shù)a,然后利用基本不等式求最值,則a的范圍可求;
(2)把a(bǔ)=1代入函數(shù)f(x)的解析式,求出函數(shù)g(x)解析式,由偶函數(shù)的定義得到函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù),把函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù),換元后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到換元后的二次函數(shù)的對(duì)稱軸,由對(duì)稱軸可求λ的值.
解答:解:(1)
由F(x)是偶函數(shù),∴F(-x)=F(x),即
∴-bx+1=bx+1,∴b=0.
即F(x)=x2+a+2,x∈R.
又F(x)≥ax恒成立,即x2+a+2≥ax恒成立,也就是a(x-1)≤x2+2恒成立.
當(dāng)x=1時(shí),a∈R
當(dāng)x>1時(shí),a(x-1)≤x2+2化為,
,∴
當(dāng)x<1時(shí),a(x-1)≤x2+2化為,
,∴
綜上:;
(2)存在實(shí)數(shù)λ=4,使g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù).
事實(shí)上,當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+1.
g(x)=f(f(x))-λf(x)=(x2+1)2+1-λ(x2+1)=x4+(2-λ)x2+(2-λ).
∵g(-x)=(-x)4+(2-λ)(-x)2+(2-λ)=g(x)
∴g(x)是偶函數(shù),要使g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù),
即g(x)只要滿足在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù)即可.
令t=x2,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)t∈(0,1);x∈(1,+∞)時(shí)t∈(1,+∞),
由于x∈(0,+∞)時(shí),t=x2是增函數(shù),記g(x)=H(t)=t2+(2-λ)t+(2-λ),
故g(x)與H(t)在區(qū)間(0,+∞)上有相同的增減性,
當(dāng)二次函數(shù)H(t)=t2+(2-λ)t+(2-λ)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù)時(shí),
其對(duì)稱軸方程為t=1,
,解得λ=4.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練了分離變量及利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍,考查了二次函數(shù)的單調(diào)性.屬難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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(1)求f(x);
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f′(x)
 , m>0
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