【答案】
分析:(1)把函數(shù)f(x)的解析式代入函數(shù)F(x)利用函數(shù)是偶函數(shù)求出b=0,把b=0代回函數(shù)F(x)的解析式,由F(x)≥ax恒成立分離出參數(shù)a,然后利用基本不等式求最值,則a的范圍可求;
(2)把a(bǔ)=1代入函數(shù)f(x)的解析式,求出函數(shù)g(x)解析式,由偶函數(shù)的定義得到函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù),把函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù),換元后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到換元后的二次函數(shù)的對(duì)稱軸,由對(duì)稱軸可求λ的值.
解答:解:(1)
.
由F(x)是偶函數(shù),∴F(-x)=F(x),即
∴-bx+1=bx+1,∴b=0.
即F(x)=x
2+a+2,x∈R.
又F(x)≥ax恒成立,即x
2+a+2≥ax恒成立,也就是a(x-1)≤x
2+2恒成立.
當(dāng)x=1時(shí),a∈R
當(dāng)x>1時(shí),a(x-1)≤x
2+2化為
,
而
,∴
.
當(dāng)x<1時(shí),a(x-1)≤x
2+2化為
,
而
,∴
綜上:
;
(2)存在實(shí)數(shù)λ=4,使g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù).
事實(shí)上,當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x
2+1.
g(x)=f(f(x))-λf(x)=(x
2+1)
2+1-λ(x
2+1)=x
4+(2-λ)x
2+(2-λ).
∵g(-x)=(-x)
4+(2-λ)(-x)
2+(2-λ)=g(x)
∴g(x)是偶函數(shù),要使g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù),
即g(x)只要滿足在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù)即可.
令t=x
2,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)t∈(0,1);x∈(1,+∞)時(shí)t∈(1,+∞),
由于x∈(0,+∞)時(shí),t=x
2是增函數(shù),記g(x)=H(t)=t
2+(2-λ)t+(2-λ),
故g(x)與H(t)在區(qū)間(0,+∞)上有相同的增減性,
當(dāng)二次函數(shù)H(t)=t
2+(2-λ)t+(2-λ)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù)時(shí),
其對(duì)稱軸方程為t=1,
∴
,解得λ=4.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練了分離變量及利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍,考查了二次函數(shù)的單調(diào)性.屬難題.