Question

15．已知三棱錐O-ABC中，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=AC=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{11}$，O，A，B，C四點均在球S的表面上，則球S的表面積為$\frac{25π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得球S是以O為頂點，以OA、OB、OC為棱的長方體的外接球，由此先求出球S半徑，從而能求出球S的表面積．

解答 解：∵三棱錐O-ABC中，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=AC=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{11}$，
O，A，B，C四點均在球S的表面上，
∴以O為頂點的三條棱兩兩垂直，
∴球S是以O為頂點，以OA、OB、OC為棱的長方體的外接球，
設球S半徑為R，
則2R=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}+O{C}^{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{2（O{A}^{2}+O{B}^{2}+O{C}^{2}）}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}+A{C}^{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{7+7+11}$
=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴R=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴球S的表面積S=4$π×（\frac{5\sqrt{2}}{4}）^{2}$=$\frac{25π}{2}$．
故答案為：$\frac{25π}{2}$．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，解題的關鍵是推導出球S是以O為頂點，以OA、OB、OC為棱的長方體的外接球．