Question

設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為4，則

2

a

+

3

b

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：畫出約束條件表示的可行域，通過目標(biāo)函數(shù)的最值，求出a、b的關(guān)系，利用基本不等式求出表達(dá)式的最小值．

解答：解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分．

當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4，6）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值4，
即4a+6b=4，即a+

3

2

b=1．
所以

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（a+

3

2

b）
=

13

2

+

3b

a

+

3a

b

≥

13

2

+2

3b a × 3a b

=

13

2

+6=

25

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)

3b

a

=

3a

b

，且a+

3

2

b=1，即a=b=

2

5

時(shí)取等號(hào)．
故答案為：

25

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡單的線性規(guī)劃，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．