【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的倍,為側棱上的點.
(1)求證:.
(2)若⊥平面,求二面角的大。
(3)在(2)的條件下,側棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.
【答案】(1)詳見解析(2)30°(3)SE∶EC=2∶1
【解析】試題分析:(1)連BD,設AC交于BD于O,由題意知SO⊥平面ABCD.以O為坐標原點,分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立坐標系O-xyz,設底面邊長為a,求出高SO,從而得到點S與點C和D的坐標,求出向量與,計算它們的數(shù)量積,從而證明出OC⊥SD,則AC⊥SD;(2)根據(jù)題意先求出平面PAC的一個法向量和平面DAC的一個法向量,設所求二面角為θ,則,從而求出二面角的大;(3)在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC,根據(jù)(Ⅱ)知是平面PAC的一個法向量,設,求出,根據(jù)可求出t的值,從而即當SE:EC=2:1時,,而BE不在平面PAC內(nèi),故BE∥平面PAC
試題解析:(1)證明:連BD,設AC交BD于O,由題意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD
(2)設正方形邊長a,則.
又,所以∠SDO=60°.
連OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD.所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角.
由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,
即二面角P-AC-D的大小為30°
(3)在棱SC上存在一點E,使BE∥平面PAC.
由(2)可得,故可在SP上取一點N,使PN=PD.過N作PC的平行線與SC的交點即為E.連BN,在△BDN中知BN∥PO.
又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.
由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) 部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)設g(x)=f(x)﹣cos2x,求函數(shù)g(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知⊙O:x2+y2=1和點M(4,2).
(Ⅰ)過點M向⊙O引切線l,求直線l的方程;
(Ⅱ)求以點M為圓心,且被直線y=2x﹣1截得的弦長為4的⊙M的方程;
(Ⅲ)設P為(Ⅱ)中⊙M上任一點,過點P向⊙O引切線,切點為Q.試探究:平面內(nèi)是否存在一定點R,使得 為定值?若存在,請舉出一例,并指出相應的定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx)+b(A>0,ω>0)的最大值為2,最小值為0,其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2,則f(1)+f(2)+…+f(2008)= .
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【題目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),| ﹣ |= .
(1)求cos(α﹣β)的值;
(2)若0<α< ,﹣ <β<0,且sinβ=﹣ ,求sinα的值.
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【題目】設點(a,b)是區(qū)域 內(nèi)的任意一點,則使函數(shù)f(x)=ax2﹣2bx+3在區(qū)間[ ,+∞)上是增函數(shù)的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖(1)五邊形中,
,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點為線段的中點,且平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若四棱柱的體積為,求四面體的體積.
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