Question

已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．
（1）設(shè)Q為線段AP上一點(diǎn)，若MQ∥平面PCB，求CQ的長； 
（2）求平面MCN與底面ABCD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出Q的坐標(biāo)，即可求CQ的長； 
（2）求出面ABCD的法向量、面MCN的法向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答： 解：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，∠BAD=90°，所以以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
又因?yàn)椤螦DC=90°，PA=4，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)，所以有A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(

2

，1，0)，D(

2

，0，0)，P(0，0，4)，M(

2

2

，0，2)，N(0，1，2)，
因?yàn)镼為線段AP上一點(diǎn)，所以可設(shè)Q（0，0，t），
則

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，t-2)，
設(shè)平面PBC的法向量為

n0

=(x，y，z)，
則有：

n0 ⊥ BC ⇒(x，y，z)•( 2 ，-1，0)=0⇒ 2 x-y=0 n0 ⊥ PB ⇒(x，y，z)•(0，2，-4)=0⇒2y-4z=0

令z=1，則x=

2

，y=2⇒

n0

=(

2

，2，1)，
又因?yàn)镸Q∥平面PCB，所以

MQ

•

n0

=(-

2

2

，0，t-2)•(

2

，2，1)=0，得t=3，
從而得Q（0，0，3），故CQ=2

3

．
（2）設(shè)平面MCN的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
又

CM

=(-

2

2

，-1，2)，

CN

=(-

2

，0，2)，
則有：

n ⊥ CM ⇒(x，y，z)•(- 2 2 ，-1，2)=0⇒- 2 2 x-y+2z=0 n ⊥ CN ⇒(x，y，z)•(- 2 ，0，2)=0⇒- 2 x+2z=0

令z=1，則x=

2

，y=1⇒

n

=(

2

，1，1)，又

AP

=(0，0，4)為平面ABCD的一個(gè)法向量，
所以cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n |•| AP |

=

4

2×4

=

1

2

，故平面MCN與底面ABCD所成銳二面角的大小為

π

3

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用空間向量的有關(guān)運(yùn)算解決長度、體積、空間角等問題．