Question

（I）已知橢圓C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，設(shè)斜率為k的直線l，交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心．

Answer 1

分析：（I）設(shè)直線l的方程為y=kx+m且橢圓C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯(lián)立進而可得x₁+x₂和y₁+y₂的表達式，進而可得AB中點M的坐標進而可判定AB的中點M在過原點的直線b²x+a²ky=0上．
（II）作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點O即為橢圓中心．

解答：解：（I）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，與橢圓C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則有

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，解得 （b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，
∵△＞0，∴m²＜b²+a²k²，即 -

b2+a2k2

＜m＜

b2+a2k2

．
則 x1+x2=-

2a2km

b2+a2k2

，y1+y2=kx1+m+kx2+m=

2b2m

b2+a2k2

，
∴AB中點M的坐標為(-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

)．
∴線段AB的中點M在過原點的直線 b²x+a²ky=0上．…（8分）
另解：也可以用點差法先求出

y0

x0

=-

b2

a2k

（其中（x₀，y₀）為AB的中點M的坐標），因此線段AB的中點M在過原點的直線 b²x+a²ky=0上．
（Ⅱ）如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點O即為橢圓中心．…（14分）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關(guān)系．綜合考查了學(xué)生對橢圓性質(zhì)和利用韋達定理來解決橢圓與直線問題的掌握．