Question

（2013•麗水一模）若雙曲線的右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離是點(diǎn)F到右頂點(diǎn)的距離與點(diǎn)F到中心的距離的等差中項(xiàng)，則離心率e=（　�。�

• A．

  5

  4

• B．

  4

  3

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，算出右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為b，結(jié)合題意得c-a、b、c成等差數(shù)列，由此可得2b=2c-a，平方后根據(jù)b²=c²-a²化簡(jiǎn)整理，得5a=4c，由此即可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
可得雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，
∴右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為

|bc|

b2+a2

=b
因此c-a、b、c成等差數(shù)列，
∴2b=（c-a）+c，平方得4b²=（2c-a）²
∵b²=c²-a²，
∴4c²-4a²=4c²-4ac+a²，整理得5a=4c
因此，該雙曲線的離心率e=

c

a

=

5

4

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離是點(diǎn)F到右頂點(diǎn)的距離與點(diǎn)F到中心的距離的等差中項(xiàng)，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．