Question

10．已知tanα是關(guān)于x的方程2x²-x-1=0的一個實根，且α是第三象限角．
（1）求$\frac{2sinα-cosα}{sinα+cosα}$的值；
（2）求cosα+sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出正切函數(shù)值，化簡所求表達式為正切函數(shù)的形式，計算即可．
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，通過解方程求解即可．

解答 解：∵2x²-x-1=0，∴${x_1}=-\frac{1}{2}，{x_2}=1$，∴$tanα=-\frac{1}{2}$或tanα=1，又α是第三象限角，…（4分）
（1）$\frac{2sinα-cosα}{sinα+cosα}=\frac{2tanα-1}{tanα+1}=\frac{2×1-1}{1+1}=\frac{1}{2}$．…（9分）
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}tanα=\frac{sinα}{cosα}=1\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$且α是第三象限角，∴$\left\{\begin{array}{l}sinα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ cosα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$，∴$sinα+cosα=-\sqrt{2}$…（14分）

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．