Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．

(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)N 的直線(xiàn)被圓截得的弦AB的長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的傾斜角．

Answer 1

【答案】(1) (2) 30°或90°．

【解析】

（1）解法一：將圓的方程設(shè)為一般式，將題干三個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，解出相應(yīng)的參數(shù)值，即可得出圓的一般方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程；

解法二：求出線(xiàn)段和的中垂線(xiàn)方程，將兩中垂線(xiàn)方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即為圓心坐標(biāo)，然后計(jì)算為圓的半徑，即可寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先利用勾股定理計(jì)算出圓心到直線(xiàn)的距離為，并對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論：一是直線(xiàn)的斜率不存在，得出直線(xiàn)的方程為，驗(yàn)算圓心到該直線(xiàn)的距離為；

二是當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，并表示為一般式，利用圓心到直線(xiàn)的距離為得出關(guān)于的方程，求出的值。結(jié)合前面兩種情況求出直線(xiàn)的傾斜角。

（1）解法一：設(shè)圓的方程為，

則 ∴

即圓為，

∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

解法二：則中垂線(xiàn)為,中垂線(xiàn)為，

∴圓心滿(mǎn)足∴，

半徑，

∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，即直線(xiàn)到圓心的距離為1，也滿(mǎn)足題意，

此時(shí)直線(xiàn)的傾斜角為90°，

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由弦長(zhǎng)為4，可得圓心 到直線(xiàn)的距離為，

，

∴，此時(shí)直線(xiàn)的傾斜角為30°，

綜上所述，直線(xiàn)的傾斜角為30°或90°．