Question

定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（2x），當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=4-4|2x-3|，設(shè)函數(shù)f（x）在x∈[2^n-1，2ⁿ]，（n∈N^*）上的極大值為a_n，則數(shù)列{a_n}的前n項和為（　　）

• A．8-

  1

  2n-2

• B．8-

  1

  2n-3

• C．8-

  1

  4n-2

• D．8-

  1

  4n-3

Answer 1

分析：由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出極值點，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：解：當(dāng)2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）時，

x

2n-1

∈[1，2]
∵函數(shù)f（x）滿足：①f（x）=2f（2x）；②當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=4-4|2x-3|
∴f(

x

2n-1

)=2f（

x

2n-2

）=4f(

x

2n-3

)=…=2n-1f(

x

20

)=2^n-1f（x）
∵f(

x

2n-1

)=4-4|

2x

2n-1

-3|
∴2n-1f(x)=4-4|

x

2n-2

-3|
∴a_n=

4

2n-1

∴Sn=4+2+1+…+

4

2n-1

=

4(1- 1 2n )

1- 1 2

=8-

1

2n-3

故選B

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出函數(shù)的極值點坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．