Question

求直線m：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：3x＋4y－1＝0對稱的直線n的方程．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：兩點(diǎn)確定一條直線，其中m，l的交點(diǎn)也在n上，另外再確定一個(gè)點(diǎn)即可確定n的直線方程，這個(gè)點(diǎn)可以在m上任取一點(diǎn)，求其關(guān)于l的對稱點(diǎn)即可． 　　解法一：在直線m∶2x＋y－4＝0上取一點(diǎn)A(2，0)，它關(guān)于直線l∶3x＋4y－1＝0的對稱點(diǎn)為(x1，y1)，則由A的中點(diǎn)C一定在直線l上，并且A⊥l，得 　　解得x1＝，y1＝，即()． 　　由直線的兩點(diǎn)式方程可得所求直線方程為2x＋11y＋16＝0． 　　解法二：設(shè)直線n上的動點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線l∶3x＋4y－1＝0的對稱點(diǎn)為Q(x1，y1)，則有 　　 　　因點(diǎn)Q(x1，y1)在直線m∶2x＋y－4＝0上，故有2·－4＝0．化簡，得2x＋11y＋16＝0即是所求的直線方程．

提示：

由平面幾何知識可知，若直線m、n關(guān)于直線l對稱，則它們具有下列性質(zhì)： 　　(1)若直線m、n相交，則l是m、n的交角的平分線(兩條)； 　　(2)若點(diǎn)A在直線m上，那么A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)一定在直線n上，這時(shí)A⊥l，并且A的中點(diǎn)C一定在直線l上． 　　使用以上性質(zhì)，可以求出直線m關(guān)于直線l對稱的直線n的方程． 　　以上解法一是先求出兩直線的交點(diǎn)，然后分別找出確定直線位置的：另一個(gè)點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式寫出方程即為所求；解法二則是利用直線上動點(diǎn)的幾何性質(zhì)，直接由軌跡求方程．在使用這種方法時(shí)，要注意區(qū)分動點(diǎn)坐標(biāo)及非動點(diǎn)坐標(biāo)(參數(shù))．