精英家教網(wǎng)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中心,點(diǎn)F,G分別是棱C1D1,AA1的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)E1,G1分別是點(diǎn)E,G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影.
(1)求以E為頂點(diǎn),以四邊形FGAE在平面DCC1D1內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積;
(2)證明:直線FG1⊥平面FEE1;
(3)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值.
分析:(1)依題作點(diǎn)E、G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影E1、G1,則E1、G1分別為CC1、DD1的中點(diǎn),四邊形FGAE在平面DCC1D1內(nèi)的正投影為底面邊界即為四邊形DE1FG1,面積為SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1,由題意可證EE1為該棱錐的高,代入體積公式可求;
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別作x軸,y軸,z軸;要證直線FG1⊥平面FEE1?FG1⊥FE,F(xiàn)G1⊥FE1?
FG1
FE
=0,
FG1
FE1
=0
,利用空間向量的數(shù)量積可證;
(3)異面直線E1G1與EA所成角?
E1G1
EA
所成的角,利用公式cosθ=
E1G1
EA
|
EA
||
E1G1|
可求;
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)依題作點(diǎn)E、G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影E1、G1,
則E1、G1分別為CC1、DD1的中點(diǎn),
連接EE1、EG1、ED、DE1,
則所求為四棱錐E-DE1FG1的體積,
其底面DE1FG1面積為SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1=
1
2
×
2
×
2
+
1
2
×1×2=2
,(3分)
又EE1⊥面DE1FG1,EE1=1,
VE-DE1FG1=
1
3
SDE1FG1•EE1=
2
3
.(6分)
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別作x軸,y軸,z軸,
得E1(0,2,1)、G1(0,0,1),又G(2,0,1),F(xiàn)(0,1,2),E(1,2,1),
FG1
=(0,-1,-1)
,
FE
=(1,1,-1)
,
FE1
=(0,1,-1)
,
FG1
FE
=0+(-1)+1=0
,
FG1
FE1
=0+(-1)+1=0

即FG1⊥FE,F(xiàn)G1⊥FE1,
又FE1∩FE=F,∴FG1⊥平面FEE1.(10分)
(3)
E1G1
=(0,-2,0)
,
EA
=(1,-2,-1)
,
cos<
E1G1
,
EA
>=
E1G1
EA
|
E1G1
||
EA
|
=
2
6

設(shè)異面直線E1G1與EA所成角為θ,則sinθ=
1-
2
3
=
3
3
.(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理,利用空間向量的方法把求異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為向量所成的角,錐體的體積的求解,關(guān)鍵是確定該棱錐的高及底面.
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