Question

9．已知f（x）=|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x+1）+f（x+3）＞2的解集M；
（Ⅱ）若a∈M，|b|＜2，求證：$f（ab）＜|a|•f（\frac{a}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x+1）+f（x+3）=|x-1|+|x+1|，而|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，當(dāng)且僅當(dāng)|（x-1）（x+1）≤0，即-1≤x≤1時(shí)取等號(hào)．即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用作差法進(jìn)行證明即可．

解答 （Ⅰ）解：f（x+1）+f（x+3）=|x-1|+|x+1|，而|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)|（x-1）（x+1）≤0，即-1≤x≤1時(shí)取等號(hào)．
因此M={x|x＜-1或x＞1}．    …（5分）
（Ⅱ）證明：$f（ab）＜|a|•f（\frac{a}）?|ab-2|＜|b-2a|$，
因?yàn)閍∈M，|b|＜2，所以（ab-2）²-（b-2a）²=a²b²-4a²-b²+4=（a²-1）（b²-4）＜0．
因此|b-a|＜|b-2a|，故$f（ab）＜|a|•f（\frac{a}）$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．