Question

（2013•青島一模）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為

2

3

和P，且各株大樹(shù)是否成活互不影響．已知兩種大樹(shù)各成活1株的概率為

2

9

．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）求甲種大樹(shù)成活的株數(shù)大于乙種大樹(shù)成活的株數(shù)的概率；
（Ⅲ）用x，y分別表示甲、乙兩種大樹(shù)成活的株數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：設(shè)“甲種大樹(shù)恰有i株成活”為事件A_i（i=0，1，2），則P（A_i）=

C

i 2

(

2

3

)i(

1

3

)2-i，設(shè)“乙種大樹(shù)恰有i株成活”為事件B_i（i=0，1，2），則P（B_i）=

C

i 2

Pi(1-P)2-i．
（Ⅰ）由題意可得兩種大樹(shù)各成活1株的概率P=P（A₁B₁），代入可得P的方程，解之可得；
（Ⅱ）設(shè)事件為C，則P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀），代入可得；
（Ⅲ）ξ所有可能取值為0，1，2，分別可求其概率，可得分布列，由期望的定義可得答案．

解答：解：設(shè)“甲種大樹(shù)恰有i株成活”為事件A_i（i=0，1，2），則P（A_i）=

C

i 2

(

2

3

)i(

1

3

)2-i；
設(shè)“乙種大樹(shù)恰有i株成活”為事件B_i（i=0，1，2），則P（B_i）=

C

i 2

Pi(1-P)2-i．
（Ⅰ）兩種大樹(shù)各成活1株的概率P=P（A₁B₁）
=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 2

P(1-P)=

2

9

，即（2P-1）²=0，
解得P=

1

2

   …（3分）
（Ⅱ）設(shè)“甲種大樹(shù)成活的株數(shù)大于乙種大樹(shù)成活的株數(shù)”為事件C，
則P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀）
=(

2

3

)2×

C

1 2

×

1

2

×

1

2

+(

2

3

)2×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×(

1

2

)2=

4

9

所以，甲種大樹(shù)成活的株數(shù)大于乙種大樹(shù)成活的株數(shù)的概率為

4

9

．…（6分）
（Ⅲ）由題意知，ξ所有可能取值為0，1，2．…（7分）
P（ξ=0）=P（A₂B₂）+P（A₁B₁）+P（A₀B₀）
=(

2

3

)2×(

1

2

)2+

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 2

×(

1

2

)2+(

1

3

)2×(

1

2

)2=

13

36

，
P（ξ=2）=P（A₂B₀）+P（A₀B₂）=(

2

3

)2×(

1

2

)2+(

1

3

)2×(

1

2

)2=

5

36

，
∴P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)=

1

2

所以ξ服從的分布列為：

ξ	0	1	2
P	13 36	1 2	5 36

…（10分）
故Eξ=0×

13

36

+1×

1

2

+2×

5

36

=

7

9

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及數(shù)學(xué)期望的求解，屬中檔題．