Question

已知a，b∈R，求證a² + b²≥ab + a + b－1．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵ (a2 + b2)－(ab + a + b－1)   ， ∴ a2 + b2≥ab + a + b－1，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = 1時(shí)等號(hào)成立． 此不等式的證明還可采用函數(shù)的方法： 設(shè)f ( a ) = ( a2+b2 )－(ab + a + b－1) = a2－(b + 1)a + b2－b + 1，這是一個(gè)a的二次函數(shù)式，由于二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且= (b+1)2－4(b2－b+1) =－3(b－1)2≤0，故 f ( a )≥0對(duì)一切a∈R恒成立．

提示：

這是一個(gè)用求差比較法證明的不等式，對(duì)差式的變形是拆項(xiàng)和配方，以利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)： a2≥0．