已知數(shù)列{an}滿足a1=
7
6
,Sn是{an}的前n項和,點(2Sn+an,Sn+1)在f(x)=
1
2
x+
1
3
的圖象上,數(shù)列{bn}中,b1=1,且
bn+1
bn
=
n
n+1
 (n∈N*).
(1)證明數(shù)列{an-
2
3
}是等比數(shù)列;
(2)分別求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式an和bn
(3)若cn=
an-
2
3
bn
,Tn為數(shù)列{cn}的前n項和,n∈N*,求Tn并比較Tn與1的大小(只需寫出結(jié)果,不要求證明).
分析:(1)由點(2Sn+an,Sn+1)在f(x)=
1
2
x+
1
3
的圖象上,知Sn+1-Sn=
1
2
an+
1
3
,故an+1=
1
2
an+
1
3
,由此能夠證明數(shù)列{an-
2
3
}是等比數(shù)列.
(2)由an-
2
3
=(a1-
2
3
)(
1
2
)n-1
,得an=
2
3
+(
1
2
)
n
,由
bn+1
bn
=
n
n+1
,知
b2
b1
=
1
2
,
b3
b2
=
2
3
b4
b3
=
3
4
.由此能求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式an和bn
(3)cn=
an-
2
3
bn
=
(
1
2
)
n
1
n
=n•(
1
2
)
n
,Tn=1×
1
2
+2×(
1
2
)
2
+…+n×(
1
2
)
n
,由錯位相減法求得Tn=2-
2+n
2n
,由此能夠比較比較Tn與1的大。
解答:解:(1)∵點(2Sn+an,Sn+1)在f(x)=
1
2
x+
1
3
的圖象上
Sn+1=
1
2
(2Sn+an)+
1
3
,
Sn+1-Sn=
1
2
an+
1
3
,
an+1=
1
2
an+
1
3

an+1-
2
3
=
1
2
(an-
2
3
)
,
a1-
2
3
=
1
2
≠0
,
∴數(shù)列{an-
2
3
}是等比數(shù)列.
(2)由(1)知,an-
2
3
=(a1-
2
3
)(
1
2
)n-1
,
an=
2
3
+(
1
2
)
n
,
bn+1
bn
=
n
n+1

b2
b1
=
1
2
,
b3
b2
=
2
3
,
b4
b3
=
3
4
,…,
bn
bn-1
=
n-1
n
,
bn
b1
=
1
2
×
2
3
×
3
4
×…×
n-1
n
=
1
n

bn=
1
n
b1
=
1
n
(n≥2).
又∵b1=1,∴bn=
1
n

(3)cn=
an-
2
3
bn
=
(
1
2
)
n
1
n
=n•(
1
2
)
n
,
Tn=1×
1
2
+2×(
1
2
)
2
+…+n×(
1
2
)
n
,①
1
2
Tn=1×(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
n
-n•(
1
2
)
n+1
,②
①-②得:
1
2
Tn=
1
2
+(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
n
-n(
1
2
) n+1
,
1
2
Tn=
1
2
(1-
1
2 n
)
1-
1
2
-n(
1
2
)n+1
,
1
2
Tn=1-
1
2 n
-n(
1
2
)
n+1
,
Tn=2-
2+n
2n
,
Tn-1=1-
2+n
2n
,
n=1時,Tn-1<0,即Tn<1,
n=2時,Tn-1=0,即Tn=1,
n≥3時,Tn-1>0,即Tn>1.
點評:本題考查等比數(shù)列的證明、數(shù)列通項公式的求法和數(shù)列前n項和的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意數(shù)列的遞推式的靈活應用.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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