Question

已知數(shù)列{a_n}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求證：點(diǎn)P1(1，

S1

1

)，P2(2，

S2

2

)，…，Pn(n，

Sn

n

)在同一條直線(xiàn)l₁上；
（2）過(guò)點(diǎn)Q₁（1，a₁），Q₂（2，a₂）作直線(xiàn)l₂，設(shè)l₁與l₂的夾角為θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

分析：（1）要證明這些點(diǎn)都在一條直線(xiàn)上，就要找出這些點(diǎn)都過(guò)一點(diǎn)和斜率固定的直線(xiàn)方程，根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的前k項(xiàng)的和公式化簡(jiǎn)得到當(dāng)k大于等于2時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到每一個(gè)點(diǎn)與第一個(gè)點(diǎn)所求的斜率為定值，可得證；
（2）根據(jù)Q₁，Q₂的坐標(biāo)表示出直線(xiàn)l₂，分別設(shè)l₁與l₂的傾斜角為α和β，則θ=|β-α|，兩邊都取正切，根據(jù)傾斜角的正切等于斜率及兩角差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，利用基本不等式得到tanθ的最大值即可．

解答：解：（1）證明：因?yàn)榈炔顢?shù)列{a_n}的公差d≠0，所以S_k=ka₁+

k(k-1)d

2

，

Sk

k

=a₁+

k-1

2

d
當(dāng)k≥2（k∈N）時(shí)，

Sk k - S1 1

k-1

=

(a1+ k-1 2 d)-a1

k-1

=

1

2

d（d為常數(shù)），
所以P₂，P₃，…，P_n都在過(guò)點(diǎn)P₁（1，a）且斜率為常數(shù)

d

2

的直線(xiàn)l₁上（k=2，3，…，n）．
（2）直線(xiàn)l₂的方程為y-a₁=d（x-1），直線(xiàn)l₂的斜率為d．分別設(shè)l₁與l₂的傾斜角為α和β，則θ=|β-α|，tanα=

d

2

，tanβ=d，
則tanθ=|tan（β-α）|=|

d- d 2

1+d• d 2

|=

|d|

2+d2

=

1

2 |d| +|d|

≤

1

2 2 |d| • |d|

=

2

4

，當(dāng)且經(jīng)當(dāng)

2

|d|

=|d|即|d|=

2

時(shí)取等號(hào)．
所以tanθ在|d|=2時(shí)的最大值為

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道中檔題，要求學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n和公式化簡(jiǎn)求值，掌握直線(xiàn)的傾斜角與斜率的關(guān)系，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最大值．