Question

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
設(shè)矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M^-1以及橢圓在M^-1的作用下的新曲線的方程．
（2）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線（t為參數(shù)），（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求C₁與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．
（3）選修4一5：不等式選講
已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1．求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）先求出矩陣M，然后利用特征多項(xiàng)式建立方程求出它的特征值，最后分別求出特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩陣M的逆矩陣，然后利用點(diǎn)在矩陣M^-1的作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)代入橢圓方程求出新的曲線方程．
（2）（Ⅰ）先寫(xiě)出C₁的普通方程和C₂的普通方程為x²+y²=1．聯(lián)立方程組即可解得C₁與C₂的交點(diǎn)；
（Ⅱ）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0．A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin²α，-cosαsinα），從而得出當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程即可．
（3）根據(jù)柯西不等式•（4a+1+4b+1+4c+1）直接求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由條件得矩陣M=，
它的特征值為2和3，對(duì)應(yīng)的特征向量為及；（4分）
（Ⅱ），橢圓在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．（7分）
（2）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，C₁的普通方程為，
C₂的普通方程為x²+y²=1．聯(lián)立方程組，
解得C₁與C₂的交點(diǎn)為（1，0），．（4分）
（Ⅱ）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0．A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin²α，-cosαsinα），
故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）（7分）
（3）由柯西不等式得
•（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=2（15分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立
故的最大值為．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查來(lái)了逆變換與逆矩陣，以及圓的參數(shù)方程和直線的參數(shù)方程，以及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，是一道綜合題，屬于中檔題．