Question

9．已知M（x，y）在雙曲線方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=2secθ}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$上，求M到N（-3，0）的距離的最小值．

Answer 1

分析 把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入距離公式|MN|中，利用三角函數(shù)求出|MN|²的最小值即可．

解答 解：∵M(jìn)在雙曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2secθ}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$上，
∴M到N（-3，0）的距離為|MN|，
則|MN|²=（2secθ+3）²+tan²θ
=$\frac{{（2+3cosθ）}^{2}}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{{sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$
=$\frac{{8cos}^{2}θ+12cosθ+5}{{cos}^{2}θ}$
=8+$\frac{12}{cosθ}$+$\frac{5}{{cos}^{2}θ}$；
設(shè)$\frac{1}{cosθ}$=t，則t≥1，或t≤-1；
∴f（t）=5t²+12t+8=5${（t+\frac{6}{5}）}^{2}$+$\frac{4}{5}$，
且當(dāng)t=-$\frac{6}{5}$時(shí)，f（t）取得最小值$\frac{4}{5}$；
∴|MN|的最小值為$\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的計(jì)算問題，是綜合性題目．