【題目】若函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且當
時,
.
(Ⅰ)若,求函數(shù)
的解析式;
(Ⅱ)若,方程
至少有兩個不等的解,求
的取值集合;
(Ⅲ)若函數(shù)為
上的單調(diào)減函數(shù),
①求的取值范圍;
②若不等式成立,求實數(shù)
的取值集合.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)①
,②
【解析】
首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)解析式為,
(Ⅰ)將代入即可;(Ⅱ)將
代入求出此時函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖象,方程
的解,轉(zhuǎn)化為函數(shù)
與
的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解;(Ⅲ)將各段函數(shù)配成標準式,求出其對稱軸,根據(jù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減求出參數(shù)
的值,根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,最后解一元二次不等式即可;
解:因為函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且當
時,
.
設(shè)則
,
因為
所以,
,
綜上
(Ⅰ)當時,
;
(Ⅱ)當時,
,可畫函數(shù)圖象如下所示:
因為方程至少有兩個不等的解,即函數(shù)
與
至少有兩個交點,
從函數(shù)圖象可知
即
(Ⅲ)因為函數(shù)為
上的單調(diào)減函數(shù),
①當時,對稱軸
,所以
在
上單調(diào)遞減,
由于奇函數(shù)關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同,所以在
上單調(diào)遞減,
所以時,
在
上為單調(diào)遞減函數(shù),
當時,
在
遞增,在
上遞減,不合題意,
所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)時,
的范圍為
.
②,
,
又是奇函數(shù),
,
又因為為
上的單調(diào)遞減函數(shù),所以
,
即解得
或
即
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成的三角形面積為
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)與圓O:相切的直線l交橢圓C于A,B兩點(O為坐標原點),求△AOB面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù).
(1)若不等式對任意實數(shù)
成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),若
在
上有零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)作為藍色海洋教育特色學(xué)校,隨機抽取100名學(xué)生,進行一次海洋知識測試,按測試成績(假設(shè)考試成績均在[65,90)內(nèi))分組如下:第一組[65,70),第二組 [70,75),第三組[75,80),第四組 [80,85),第五組 [85,90).得到頻率分布直方圖如圖C34.
(1)求測試成績在[80,85)內(nèi)的頻率;
(2)從第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成海洋知識宣講小組,定期在校內(nèi)進行義務(wù)宣講,并在這6名學(xué)生中隨機選取2名參加市組織的藍色海洋教育義務(wù)宣講隊,求第四組至少有1名學(xué)生被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正整數(shù)的所有約數(shù)之和用
表示,(比如
).試答下列各問:
(1)證明:如果和
互質(zhì),那么
;
(2)當是
的約數(shù)(
),且
.試證
是質(zhì)數(shù).其次,如果
是正整數(shù),
是質(zhì)數(shù),試證
也是質(zhì)數(shù);
(3)設(shè)(
為正整數(shù),
為奇數(shù)),且
.試證存在質(zhì)數(shù)
,使得
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了弘揚傳統(tǒng)文化,某市舉辦了“高中生詩詞大賽”,現(xiàn)從全市參加比賽的學(xué)生中隨機抽取人的成績進行統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中成績的分組區(qū)間為
,
,
,
.
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)在所抽取的名學(xué)生中,用分層抽樣的方法在成績?yōu)?/span>
的學(xué)生中抽取了一個容量為
的樣本,再從該樣本中任意抽取
人,求
人的成績均在區(qū)間
內(nèi)的概率;
(3)若該市有名高中生參賽,根據(jù)此次統(tǒng)計結(jié)果,試估算成績在區(qū)間
內(nèi)的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),給出下列判斷:(1)函數(shù)
的值域為
;(2)
在定義域內(nèi)有三個零點;(3)
圖象是中心對稱圖象.其中正確的判斷個數(shù)為( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某電子商務(wù)平臺隨機抽取了1000位網(wǎng)上購物者(年消費都達到2000元),并對他們的年齡進行了調(diào)查,統(tǒng)計情況如下表所示:
年齡 | ||||||
人數(shù) | 100 | 150 | 400 | 200 | 100 | 50 |
該電子商務(wù)平臺將年齡在的人群定義為消費主力軍,其它年齡段定義為消費潛力軍.
(1)若該電子商務(wù)平臺共10萬位網(wǎng)上購物者,試估計消費主力軍的人數(shù);
(2)為了鼓勵消費潛力軍消費,該平臺決定對年消費達到2000元的購物者發(fā)放代金券,消費主力軍每人發(fā)放100元,消費潛力軍每人發(fā)放200元.現(xiàn)采用分層抽樣(按消費主力軍與消費潛力軍分層)的方式從參與調(diào)查的1000位網(wǎng)上購物者中抽取10人,并在這10人中隨機抽取3人進行回訪,求這3人獲得代金券總金額(單位:元)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系 中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
.
(1)求直線和曲線
的普通方程;
(2)已知點,且直線
和曲線
交于
兩點,求
的值
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